TRİGONOMETRİ

Birim çemberde tanımlar :
Ana
litik geometriden bildi.imiz x-y koordinat sistemi trigonometrik düzlemde koordinat sistemi İeklinde düİünülür.
Dolayısıyla

inatlarından apsis de.eri ordinat de.eri =
bulunur.

X-Y koordinat sistemindeki iİaretler koordinat sisteminde de tamamen geçerlidir.
Not:

la yapılan açıdır.

Örnek: 1200 nin trigonometrik oranlarını bulalım:

sin 1200 = sin 600

cos1200 = -cos600

Ğkinci bölgede kosinüsün iİareti negatiftir. tan1200 = -tan600

cot1200 = -cot600

Örnek: 2100nin trigonometrik oranlarını bulalım:

sin2100 = -sin300 cos2100 = -cos300
tan2100 = tan300

cot2100 = cot300

Örnek:10200 nin trigonometrik oranlarını bulalım:
10200, 3600 den büyük oldu.undan birim çember üzerinde turlar atıyor demektir. O nedenle önce kaç tur attı.ını ve asıl olarak son olarak bulundu.u yeri tespit etmemiz gerekmektedir. Bunun için verilen açıyı 360’a bölerek esas ölçüsünü bulalım :
1020 = 2.360+300 oldu.undan esas ölçüsü 3000 ve attı.ı tur sayısı 2’dir.
sin10200 =sin3000 = -sin600

cos10200 = cos3000 = cos600

tan10200 = tan3000 = -tan600

cot10200 = cot3000= -cot600

bulunur.

Örnek: nin trigonometrik oranlarını bulalım Negatif açılar saat yönünde alındı.ından saat yönünde 8400 dönmemiz gerekir. Ama bunun için öncelikle tur sayısını ve esas ölçüyü bulalım.
-8400 = -2.3600-1200
-8400’nin trigonometrik oranları –1200’nin trigonometrik oranlarına eİittir.
Negatif yönde 1200 gitmek sonucunda ulaİtı.ımız yer, pozitif yönde 2400 ile aynı oldu.undan dolayı bu de.erleri birbirinin yerine kullanabiliriz.
sin(-1200) =sin2400 = -sin600

cos(-1200) =cos2400 = -cos600

tan(-1200) = tan2400 = tan600 cot()
Trigonometrik Özdeİlikler:
2
Sinx+cos2x = 1

tanx.cotx = 1

Bu özdeİliklerden faydalanarak di.er özdeİliklere ulaİmak veya sadeleİtirme problemlerini çözmek mümkündür.
Örnek: 1+tan2x =

2
1+tan2x =secx
2 =
Örnek: (secx+tanx)

bulunur.
Örnek:
Toplam ve fark formülleri:

Not: Görüldü.ü gibi aradaki iİaretler sin fonksiyonunda aynı iken cos fonksiyonunda terstir.

Örnek: si= sin(60-45)
=sin60.cos45 – cos60.sin45

bulunur. Örnek: sin750 = sin(45+30) = sin45.cos30 + cos45.sin30

Örnek: cos1050 = cos(60+45) =Cos60.cos45 – sin60.sin45

Örnek: cos1650 = -cos15
= -cos(45-30)
= -(cos45.cos30 + sin45.sin30)
olarak bulunur.
Not: Bu temel formüllerden yola çıkarak di.er trigonometrik ba.ıntılara ulaİmak mümkündür. Do.al olarak test sorusu çözerken her soruda formülleri çıkarmak zaman açısından ekonomik olmayacaktır ama ö.renme aİamasında böyle çalıİmakta fayda vardır.

Örnek:

Örnek: tan150 = tan(45-30)
olur. Örnek: tan105 = tan(60+45)

2.
’nın trigonometrik oranları:
sin2. = sin (. + . )

= 2sin. .cos. cos2. = cos(. + . ) = cos. . cos. -sin. . sin.
veya
veya

bulunur.
tan2. = tan(. + . )
olarak bulunur.

Örnek:

ise cos4x=? Cos2x = 1-2sin2x

cos4x =2cos22x-1
olur.

Örnek:
,

ise tanx=?
Tan2x =

8tanx = 3-3tan2x (3tanx-1) (tanx+3) =0

oldu.undan

olarak bulunur.

Örnek:

ise

oldu.undan pozitif olan tercih edilecektir.

de.erinden
de.erine geçmek için üçgen çözümünü kullanalım:
a2+9=16 a2=7

oldu.undan

bulunur.

Sin(A+B) = sinA.cosB + cosA.sinB
Sin(A -B) = sinA.cosB -cosA.sinB ba.ıntılarını taraf tarafa toplarsak:
Sin(A+B) +sin(A -B) = 2sinA.cosB bulunur.
A+B = x ve A –B = y dersek
Bu de.erleri yerleİtirdi.imizde ise sinx +siny
buluruz.
E.er Sin(A+B) = sinA.cosB + cosA.sinB
Sin(A -B) = sinA.cosB -cosA.sinB ba.ıntılarını taraf tarafa çıkarırsak:

sin(A+B) -sin(A -B) = 2cosA.sinB yani sinx -siny
bulunur.
cos(A+B) = cosA.cosB – sinA.sinB
cos(A -B) =cosA.cosB + sinA.sinB ba.ıntılarını taraf tarafa toplarsak:

cos(A+B) + cos(A –B) =2cosA . cosB => cosx + cosy
bulunur.
cos(A+B) = cosA.cosB – sinA.sinB
cos(A -B) =cosA.cosB + sinA.sinB ba.ıntılarını taraf tarafa çıkarırsak:

cos(A+B) -cos(A –B) =-2sinA.sinB => cosx – cosy
bulunur.

Örnek:

= tan4x bulunur.

Örnek:

=tan6x olarak bulunur.

Ters Dönüİüm Formülleri
Ters dönüİüm formülleri toplam ve fark formüllerinden elde edilir:

Sinüs Teoremi: Temel olarak 2 açı ve 2 kenar arasındaki ba.ıntı oldu.undan, 2 açı ve 1 kenar verildi.inde veya 2 kenar ve 1 açı verildi.inde kullanılır.

Buradaki R ‘den kasıt çevrel çemberin yarıçapıdır. Trigonometrik alan formulü: Ğki kenar ve arasındaki açıyı bildi.imizde alan bulmak için kullanabildi.imiz bir ba.ıntıdır.
A(ABC) a2 = b2+c2-2bc.cosA

2
b2 = a+c2-2ac.cosB
2
c= a2+b2-2ab.cosC veya :

Trigonometrik Denklemler
sinx = sin. denkleminin çözüm kümesi; Ç={ 2k. +. , 2k. +. -. , k. Z}
cosx = cos. denkleminin çözüm kümesi; Ç={ 2k. ± . , k. Z}
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
siny = x ? y = Arcsinx : cosy = x ? y = Arccosx :

tany = x ? y = Arctanx : coty = x ? y = Arccotx: